Журнал удивительных идей

Совместный проект учителей и учеников 192 школы

В голове углы

Оригинальное название статьи - "Задачи на нахождение углов в планиметрии".
Окончание. Начало в пилотном и синем номерах.

В прошлом номере мы остановились на следующей задаче:

Р - внутренняя точка треугольника АВС (АВ=ВС). Углы АВС, РАС, АСР равны соответственно 80°, 30°, 10°. Найдите угол ВРС.

Сразу можно найти еще две аналогичных задачи с углами РАС и РСА равными:  10° и 20° (Задача 7); 40° и 20° (Задача 8).

Приведу решение задачи 7, которое я смог получить, хотя и с использованием тригонометрии (может, кому-нибудь удастся решить легче):

Решение задачи 7. Проведем через С прямую, параллельную АР. Пусть она пересекает продолжение высоты ВН треугольника АВС в точке О (см. рис.). ТР/РС=ТО/ОС (докажем это потом с помощью тригонометрии). Из этого следует, что OP - биссектриса угла ТОС, а Р - точка пересечения биссектрис треугольника ОВС, т.е. ВР - биссектриса угла ОВС. Угол ВРС равен 130°.

Теперь докажем ТР/РС=ТО/ОС.

Пусть НС=1. Докажем, что ТР/РС=ТО/ОС. По теореме синусов для треугольника АРС (т.к. АС=2) РС=2sin10˚/sin150˚=4sin10˚. Из треугольника ТНС ТН=tg20°, TC=1/cos20°.

ТР=ТС-PС=1/cos20˚-4sin10˚.

TP/PC=1/(4sin10˚cos20˚)-1=1/(2(sin30˚-sin10˚))-1=2sin10˚/(1-2sin10˚).

Из треугольника НОС НО=tg10˚, OC=1/cos10˚. TO=TH+HO=tg20°+tg10°.

TO/OC=(tg10˚+tg20˚)cos10˚=(tg10˚+2tg10˚/(1-tg210˚))cos10˚=sin10˚(1+2/(1-tg210˚)). Выражаем tg210˚ через sin210˚ и преобразуем. Получим TO/OC=sin10˚(3-4sin210˚)/(1-2sin210˚). Достаточно доказать, что sin10˚(3-4sin210˚)/(1-2sin210˚)=2sin10˚/(1-2sin10˚) (1).

Получим это равенство из верного 1=2sin30˚.

1=2(3sin10˚-4sin310˚) 1+8sin310˚=6sin10˚ 3-4sin210˚-6sin10˚+8sin310˚=2-4sin210˚

(3-4sin210˚)/(1-2sin210˚)=2/(1-2sin10˚) Домножаем на sin10˚ и получаем равенство (1), которое хотели доказать.

Следующая задача с ХХХ Всероссийской Математической Олимпиады Школьников (2004 г., 9 класс, задача 9.8.).

Задача 9. Пусть О - центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС, Т - центр описанной окружности треугольника АОС, М - середина АС. На сторонах АВ и ВС выбраны точки D и Е соответственно так, что углы BDM, BEM и АВС равны. Найдите угол между прямыми ВТ и DE.

Решение. Так как D и Е лежат на сторонах, то угол АВС - наибольший в треугольнике. Поэтому угол АОС, в два раза больший угла АВС, не меньше 120°, и точки О и Т лежат по разные стороны от АС. Пусть прямые МЕ и MD пересекают АВ и ВС соответственно в точках Х и Y. Из остроугольности АВС следует, что Х и Y лежит на продолжениях сторон АВ и ВС. Заметим, что ÐDXM=180°-(ÐАВЕ+ÐBEM)=180°-2ÐABC, аналогично ÐEYM=180°-2ÐABC, поэтому четырехугольник DEYX - вписанный, и углы BED и BXY равны. Далее, ÐATM=2ÐACO (т.к. точки О, М и Т, очевидно, лежат на серединном перпендикуляре к АС, и Т - центр описанной окружности ∆АОС). Тогда ÐАТМ=2(90°-ÐМОС)=2(90°-ÐАВС), т. к. О - центр описанной окружности ∆АВС. Поэтому ÐАТМ=180°-2ÐАВС=ÐАХМ, откуда АМТХ - вписанный. Так как ÐАМТ=90°, то ÐАХТ=90°. Аналогично ÐCYT=90°. Тогда четырехугольник BXTY также вписанный, ÐTBY=ÐTXY=90°-ÐBXY. Получаем ÐBDE+ÐTBE=ÐBXY+(90°-ÐBXY)=90°. Откуда угол между ВТ и DE равен 90˚.

Следующими двумя интересными задачами для самостоятельного решения завершим статью.

Задача 10. На сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) с углом при вершине 20˚ взяты точки E и D такие, что ÐDAC=30˚, ÐECD=20˚. Найти ÐCED.

Задача 11. Из вершин А и В квадрата ABCD проведены прямые АЕ и ВЕ так, что точка Е лежит внутри квадрата и ÐDAE=15˚, ÐABE=30˚. Найти ÐCED.

Ответы к задачам.

Ответ 3. ÐАСВ=α+60˚, ÐСАВ=120˚-2α, α<60˚.

Ответ 8. 80˚.

Ответ 10. 10˚.

Ответ 11. 75˚.

В статье использованы статья из журнала "Квант" N7 1975г. "Если треугольник задан" В. Н. Березина и В. И. Слепого; задачи из книг "Новые встречи с геометрией" (Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцгер), "Московские Математические Олимпиады" (Г. А. Гальперин, А. К. Толпыго), из материалов для проведения олимпиад "Восемнадцатый Турнир Городов" (задача Г. Гальперина), "V-ый этап ХХХ Всероссийской Математической Олимпиады школьников 2003-2004 учебный год, Второй день" (задача А. Смирнова), Курчатовской Олимпиады.

Печенкин Н.

Скачать всю статью в формате MS-Word

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а