Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы



Вычисляем Пи

Издательством "Юный математик" выпущен трехтомник числа Пи

Это, конечно, анекдот. А если серьезно? Много людей соревнуются в вычислении числа Пи до... В школе же реально обходятся двумя знаками после запятой. А сколько знаков достаточно для реальных расчетов?

Допустим, мы хотим измерить точность земной орбиты с точностью до миллиметра. Естественно, мы предполагаем, что знаем радиус земной орбиты (R) абсолютно точно. Предположим, R = 150 млн километров. И полагаем, что орбита точно круговая (конечно, это не так, зануды могут просто считать длину окружности вышеприведенного радиуса). Тогда погрешность Пи (обозначим dPi) внесет погрешность в результат вычислений 2*dPi*R.

Имеем: 2*dPi*R<1 (мм)

отсюда dPi<1/(2*R), то есть погрешность Пи должна составлять менее 1/3*10-12, то есть тринадцати знаков более чем достаточно для воплощения самых сумасшедших идей.

Вот они (последний округлен): 1 415 926 535 898.

Какой из трех законов Ньютона важнее?

На этот вопрос многие, не задумываясь, отвечают: "Конечно второй! В первом-то и формулы никакой нет, а третий просто очевиден". Однако в действительности это не совсем так. Открытие законов движения позволило за сравнительно небольшой промежуток времени достичь больших успехов в объяснении многочисленных явлений окружающего мира - от описания движения брошенного камня до вычисления отклонений в движении планет от законов Кеплера под влиянием других планет.

Первый шаг в понимании законов движения был сделан Галилео Галилеем, сформулировавшим принцип инерции. Он провозглашает, что тело, предоставленное самому себе, то есть когда на него не действуют никакие другие тела или действия других тел компенсируются, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, если оно двигалось до этого, или остается в покое, если оно до этого покоилось. Сейчас это утверждение кажется нам очевидным. Однако со времен Аристотеля было принято считать, что при отсутствии внешних воздействий тело может только покоиться, а для его движения даже с постоянной скоростью необходимо действие со стороны других тел. Ведь в повседневной жизни практически всегда при движении возникают те или иные силы трения, которые со временем это движение (если оно ничем не поддерживается) прекращают. Исаак Ньютон пошел дальше. Он дал ответ на вопрос о том, как именно изменяется скорость тела под влиянием других тел. Для этого он сформулировал три закона динамики, получившие название законов Ньютона.

Первый из них фактически повторяет принцип инерции Галилея, однако в современной формулировке в него вкладывается несколько иной смысл: "Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действия других тел компенсируются". Другими словами, первый закон Ньютона позволяет выбирать наиболее удобные системы отсчета, в которых будут справедливы второй и третий законы. Рецепт прост: скомпенсируйте внешние воздействии на какое-либо тело и рассмотрите его движение в выбранной вами системе отсчета. Если оно будет покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно, - система отсчета инерциальная, если же тело будет двигаться ускоренно, - система неинерциальная и для описания движения непосредственно с помощью второго закона Ньютона не подходит.

Второй закон Ньютона связывает величину приложенной к телу силы с возникающим ускорением: F = ma. Он позволяет решать основную задачу динамики - определять положение и скорость тела в любой момент времени по известным силам и начальным условиям, сила при этом выступает как физическая величина, характеризующая взаимодействие тел. С помощью второго закона в принципе можно решить любую механическую задачу. Однако о явных выражениях для сил в законах динамики ничего не говорится, а просто указывается на необходимость исследования сил, которые служат причиной изменения движения тел. Только в своем законе всемирного тяготения, который к трем основным законам динамики не относится, Ньютон дает непосредственное выражение для силы гравитационного притяжения между двумя телами.

В качестве третьего закона Ньютон формулирует некоторое общее для всех типов взаимодействий свойство: действию всегда есть равное и противоположное противодействие. Так, если одно тело, действуя на второе, толкает его на север, то второе с такой же по модулю силой толкает первое на юг, и обе эти силы действуют строго вдоль одной и той же линии.

Таким образом, мы приходим к выводу, что нельзя сказать, какой из трех законов Ньютона важнее. Все они необходимы дли описания движения тел и все вместе дают принципиальную возможность полного описания любого механического движения. Слово "принципиальная" здесь добавлено неспроста. Только в случае простейших типов сил уравнения Ньютона удается решить точно. Возникающие на практике реальные задачи из-за их математической сложности приходится решать более сложными методами с помощью ЭВМ. Так, задача о движении двух тел под действием их взаимного гравитационного притяжения решается сравнительно просто. Та же задача, но для трех тел, вообще не имеет точного решения, но может быть решена с любой точностью. С появлением ЭВМ получение заданной точности решения требует значительно меньшего времени.

предложил к публикации
Птахин Александр

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а