Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы

 

 

 

 

 

Пароход на Луне

На Луне все вещи весят в 6 раз меньше, чем на Земле.

Вообразите, что на Луне существует озеро с пресной водой. На озеро спущен пароход, который в земных пресноводных озёрах имеет осадку 3 метра.

Как глубоко будет сидеть наш пароход в воде лунного озера?

Решения задач о роботах

В прошлом номере в статье "Роботы теоретически" были приведены две задачи по тематике головоломки из белого номера. Основное правило: роботы могут перемещаться только по вертикалям и горизонталям и только вплотную к другим роботам.

Задача 1.

Условие. Роботы расставлены на квадратной доске со стороной 2n+k (n, k – натуральные, k – нечётное) как показано на рисунке.

Верно ли, что для любого k существует n такое, что можно будет какого-нибудь робота поставить в центр доски?

Ответ. Да, верно.

Решение. Будем считать, что n – достаточно большое. Поставим одного из роботов на зелёную клетку, расположенную на средней вертикали выше центральной клетки.

Для этого будем передвигать роботов по стрелкам, как указано на рисунке. Легко проверить, что робот с номером  (из обозначений на рисунке) как раз попадёт на зелёную клетку. После этого процесса роботы, стоявшие вне центрального квадрата со стороной , не сдвинутся со своих мест. Для них проведём аналогичный процесс, и поставим одного из роботов на синюю клетку, расположенную на средней вертикали ниже центральной клетки.

Опять будет затрачено некоторое конечное количество роботов. Пусть m роботов. После этого процесса роботы, стоявшие вне центрального квадрата со стороной , не сдвинутся со своих мест. Для них ещё раз проведём аналогичный процесс, поставив ещё одного робота на среднюю вертикаль ниже центральной клетки. После повтора такого процесса  раз окажется, что на средней вертикали ниже центральной клетки стоят  роботов. Будем их последовательно перемещать вверх. Один из них как раз попадёт на центральную клетку.

Задача 2.

Условие. На доске расставлено несколько роботов. Каждого робота характеризует его уровень, который выражается натуральным числом.  У робота, который ходит, уровень увеличивается на 1, а у робота, к которому этот робот ходит, уровень уменьшается на 1. Если уровень робота стал равным 0, то этот робот уничтожается (убирается с доски). Верно ли, что через некоторое количество ходов ни один из роботов не сможет ходить?

Ответ. Да, верно.

Решение. Выделим на доске прямоугольник, в пределах которого находятся все роботы. Пусть его высота m, а ширина k. Заметим, что в процессе движения роботы будут оставаться в этом прямоугольнике. Пронумеруем клетки этого прямоугольника

Последовательно для каждой клетки легко показать, что наступит момент, начиная с которого либо клетка будет пустой, либо на ней будет стоять робот, к которому не будут ходить другие роботы. Действительно, если для предыдущих клеток такой момент уже наступил, уровень робота на данной клетке (если там вообще есть робот) будет лишь уменьшаться. К нему можно будет сделать лишь конечное число шагов, а если он уйдёт, то на данную клетку никакой робот уже не встанет.

Замечание. Даже если у робота, который ходит, уровень увеличивается на миллион, ответ и решение задачи не изменятся!

Печенкин Николай,
выпускник 192 школы


М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а