Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы



Где же звезда?

Картинка взята с сайта samloyd.ru

Можете ли вы на этом рисунке отыскать правильную пятиконечную звезду?

Нажмите на картинку, чтобы узнать ответ.

Непростые простые

Всем известно, что числа имеют разное количество делителей. У некоторых их полно, а у некоторых - всего два натуральных (само число и единица).
Что странно - два делителя среди чисел, скорее, исключение, чем правило. Хотя такие числа называют «простыми», они оказались совсем не простыми...
Что же в них такого сложного?
Прежде всего, распределение на числовом луче. Кажется, что они беспорядочно раскиданы по числовому лучу, и точная закономерность пока не открыта. Но все же некоторые соображения по этому поводу можно высказать.
Например, две совсем простые формулы:
p = 2n – 1
или
p = 2n + 1

Ясно, что они  не всегда дают простые числа; например, если n — составное число, n = kl, k>1, l>1, то p делится на 2k - 1 и на 2l - 1. Но даже если n простое, то число может оказаться составным:
211 – 1 = 2047 = 23 · 89.

Простые числа, получающиеся по этой формуле, называются числами Мерсенна в честь Марена Мерсенна, который ещё в 1664 году указал все простые значения n, не превосходящие 257, для которых, по его мнению, формула даёт простые числа. Но Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснилось, что его предсказание было частично ошибочным.
Американский математик польского происхождения Станислав Улам с удивлением обнаружил, что простые числа на числовом луче, закрученном в спираль выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки:


или, уменьшив масштаб, обозначая простые маленькими черными квадратиками:

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе:

  1. Первая проблема Ландау: доказать или опровергнуть, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
  2. Вторая проблема Ландау: бесконечно ли множество «простых близнецов» - простых чисел, разность между которыми равна 2?
  3. Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау) верно ли, что между n2 и (n + 1)2 всегда найдётся простое число?
  4. Четвёртая проблема Ландау: бесконечно ли множество простых чисел вида n2 + 1?

Также интересный вопрос - составить график распространенности простых чисел - сколько их приходится на одинаковые интервалы числового луча. Может получится равномерный или хаотический спад, а может какие-нибудь другие интересные закономерности? Мы постараемся рассказать об этом в следующих номерах"

Брутер Даниил, 7В

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а