Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы










Задачи одного
удивительного матбоя

к статье "Восемь против десяти"

Убедительная просьба к команде 10-го класса: НЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ тригонометрию и аналитические методы при решении геометрических задач!

1. Алику, Боре, Васе, Грише, Денису и Егору последовательно было задано по одному вопросу из таблицы умножения. Каждый из мальчиков, начиная с Бори, думал над ответом в 1,5 раза дольше предыдущего, причем затраченное каждым на размышление число секунд было равно полученному им результату. Какие числа перемножал Денис?

2. В таблице nxk записаны некоторые числа. За один ход можно поменять знак у всех чисел одной строки или одного столбца. Можно ли таким способом получить таблицу, у которой сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце неотрицательна?

3. Высота1 треугольника ABC равна среднему геометрическому высот AA1 и СС1 точка Н - ортоцентр треугольника АВС. Найти отношение площадей AB1HC и AC1HB, если АВ=3, ВС=8.

4. Десять томов "Большой энциклопедии шпаргалок" стоят на полке в беспорядке, который библиотекарь Любовь Вениаминовна считает небольшим, т.к. каждый том стоит либо на своем месте, либо на соседнем. Сколько существует небольших беспорядков?

5. Джеймс Бонд, имея 100 долларов, отправился на прогулку. Заходя в какую-нибудь лавочку и имея при этом a долларов и b центов, он тратит в ней b долларов и а центов. Какое наибольшее число лавочек может посетить Джеймс, соблюдая это условие?

6. Из Москвы в х часов Зх минут отправился товарный поезд и прибыл в Саратов в Зх часов минут, причем время пребывания этого поезда в пути составило часов и х минут. Найти х. (Москва и Саратов расположены в одном часовом поясе.)

7. Из центра парка О выходят две прямолинейные аллеи. На каждой из них на одинаковом расстоянии от центра стоит по скамейке (А и В), которые тоже соединены аллеей. На каждой скамейке сидит девочка, а на аллее ровно посередине между ними располагается собака. Девочки одновременно встали со
скамеек и с одинаковыми скоростями пошли - одна о аллее ОА от центра парка, а другая по аллее ОВ к центру парка. Собака в каждый момент времени занимает середину отрезка, соединяющего девочек. Выбежит ли собака за пределы аллеи АВ, пока одна из девочек идет к центру парка?

8. На доске записаны числа 1. Можно стереть любые два числа и записать вместо них их полусумму и полуразность. Можно ли. несколько раз проделав эту операцию получить числа 2?



М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а