Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы







Как распилить?

В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, но у него была серебряная цепочка из семи звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки, при этом хозяин согласился взять не более одного распиленного звена. Как путешественник распилил цепочку, чтобы ежедневно расплачиваться с хозяином гостиницы?

Какое наименьшее число звеньев пришлось бы распилить, если бы путешественник жил в гостинице 100 дней и имел цепочку из ста звеньев?

В голове углы

Оригинальное название статьи: "Задачи на нахождение углов в планиметрии".
Печатается с продолжением

В геометрических задачах чаще всего встречаются углы 30°, 45°, 60°, 90°… В задачах, о которых пойдёт речь в этой статье, наряду с перечисленными углами будут встречаться и другие, самые разные углы.

Первая задача несложная.

Задача 1. На стороне АВ квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен равнобедренный треугольник АВР (АР=РВ) с углами при основании 15°. Найти угол DPC.

Указание. Построим на стороне ВС во внутреннюю сторону треугольник ВСО равный треугольнику АВР. Прямая СО перпендикулярна отрезку ВР и делит его пополам. Значит РС=ВС=CD. Треугольник PCD равносторонний, угол DPC равен 60°.

В приведённом решении следующей задачи (ХV Московская математическая олимпиада) используется очень редкий, красивый метод.

Задача 2. Из вершин А и С равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) с углом при вершине В равным 20° проводятся две прямые до пересечения со сторонами треугольника соответственно в точках D и E так, что угол CAD равен 60°, а угол ACE равен 50°. Определить угол АDЕ.

Решение. Достроим треугольник АВС до правильного 18-угольника ACC1C2C3…C15C16 так, чтобы точка В была центром этого 18-угольника. Теперь решение очевидно: точка D является пересечением прямых АС6, СС9 и С1С12, а точка Е - пересечением прямых СС12, С4С16 и АС8. Отрезок ВС1 перпендикулярен отрезку С4С16 (диагонали ромба ВС4С1С16). Так как углы DBC1 и DC1B равны, треугольник DBC1 - равнобедренный, а, значит, D лежит на С4С16, как и точка Е. Угол АDЕ равен углу между прямыми АС6 и С4С16, а его легко найти, он равен 30°.

Комментарий. Эта задача приведена ради того, чтобы показать, какими красивыми бывают решения задач подобного типа; но эта задача имеет решение и попроще, хотя и гораздо менее красивое...

Решение 2. Из вершины С проведём прямую, пересекающую отрезок АВ в точке R и составляющую угол в 60° с прямой АС. Она пересекает AD в точке М. Докажите, что ∆DEM=∆DER. Откуда углы EDA и EDR равны, а их сумма 60°, значит, угол EDA равен 30°.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Задача 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки E и D соответственно так, что углы ADE и ECD равны 30°. Известно, что треугольник АЕС - равнобедренный (АЕ=АС). Считая, что угол АВС равен α, найти остальные углы АВС. Каким может быть угол α?

Печенкин Н.

Продолжение следует

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а