Журнал удивительных идей

Совместный проект учителей и учеников 192 школы







О ком это?

Он, пятнадцатый ребенок мелкого ремесленника, родился в 1706 году в Бостоне, жил 84 года и занимался физикой лишь 7 лет. Ввел в науку понятие положительного и отрицательного электричества. Когда мы пользуемся словами "батарея", "конденсатор", "проводник ", "заряд", "разряд", "обмотка", мы вряд ли помним о том, что именно он дал название этим вещам.

Если вы сразу догадались, кто это, то переходите по этой ссылке. Нет - ищите подсказки на других страницах журнала.

В голове углы

Оригинальное название статьи: "Задачи на нахождение углов в планиметрии".
Продолжение. Начало в пилотном номере.

Следующая задача дает редкий для геометрии ответ.

Задача 4. В четырехугольнике BGEC углы ЕВС, BCG, GCE и GEB равны соответственно 30°, 26°, 51° и 13°. Найти угол BGC.

Решение. Построим правильные треугольники ВАС и EFC (см. рис.). От точки Е отложим на стороне GE отрезок DE=ЕС. Треугольники АDE и EFC равны (ВАЕС симметрична относительно ВЕ). Треугольники ADB и AEC равны. AD=DB. Треугольники ADB и BFC симметричны относительно ВЕ, а следовательно равны. Откуда угол ВАD равен 17°, угол АDB равен 146°, угол ВDE равен 154°, угол BDG равен 26° и следовательно равен углу BCG, откуда около BGDC можно описать окружность, следовательно углы BGC и BDC равны. Угол BDC равен разности углов BDE и CDE, т.е. равен 107°. Угол BGC равен 107°.

Равнобедренный треугольник с углом 80° при вершине дает сразу несколько интересных задач на нахождение углов с похожими условиями, но совершенно разными решениями.

Начнем с задачи, предлагавшейся на XVIII Турнире Городов (1997 г., весенний тур, основной вариант, 8 - 9 классы, 7 баллов):

Задача 5. P - внутренняя точка треугольника АВС (АВ=ВС). Углы АВС, РАС, АСР равны соответственно 80°, 40°, 30°. Найдите угол BPC.

Решение. На стороне BC рассмотрим такую точку D, что угол DAC равен 30°. Обозначим через О точку пересечения отрезков CР и AD. Треугольник АОС - равнобедренный, так как у него углы при основании АС равны. Высота этого треугольника, опущенная из точки О, является и биссектрисой, поэтому делит угол АОС, а также вертикальный ему угол POD пополам. Угол АОС равен 120°, отсюда углы РОВ и АОР равны 60°. Тем самым ОР делит угол АОВ пополам. АР - биссектриса треугольника АВО. Так как три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, ВР - биссектриса треугольника АВО и делит угол АВО пополам. Отсюда угол РВО равен 20°, а искомый угол ВРС равен 100°.

Следующая задача с Курчатовской Олимпиады 2004 г.

Задача 6. Р - внутренняя точка треугольника АВС (АВ=ВС). Углы АВС, РАС, АСР равны соответственно 80°, 30°, 10°. Найдите угол ВРС.

Решение. На стороне АВ рассмотрим точку Е такую, что угол ЕСА равен 30°. ЕС пересекает АР в точке О. О лежит на биссектрисе ВL треугольника АВС. Откуда угол ОВС равен 40°. Угол ОРС равен 40°, равен углу ОВС. Углы РСО и ОСВ равны. Следовательно, треугольники РОС и ОСВ равны (по общей стороне и двум углам). Значит, АВ=BD. А так как угол ВОР равен 120°, из равнобедренного треугольника ОРВ найдем, что угол ВРО равен 30°. Угол ВРС равен сумме углов ВРО и ОРС, равен 70°.

Печенкин Н.

Окончание следует

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а