Журнал удивительных идей

Приложение к синему номеру

Строгое решение задачи про старинную вычислительную машину из статьи "Еще раз о троичной системе"

В старинной электромеханической счетной машине для запоминания отдельных цифр чисел в n-ричной системе использовались n-позиционные переключатели. В каждом было n золотых контактов, поэтому при ее проектировании было дано строгое задание снизить общее количество этих контактов. В какой системе счисления работала эта машина?

Решение. Пусть N - основание системы счисления, K - некоторое десятичное число. Тогда разрядность в системе счисления будет порядка . Количество золотых контактов .

= . Таким образом, количество золотых контактов зависит от выражения , т.к. величина - постоянная для любой системы счисления.

Определим функцию .

Исследуем эту функцию на луче [2,).

критическая точка функции - , т.к. .

- на луче [2, ) функция непрерывна и убывает.

- на промежутке (, функция непрерывна и возрастает. Таким образом - точка минимума функции .

Ближайшие к точке минимума целочисленные точки имеют значения 2 и 3.

, а .

Таким образом, при n=3 потребуется наименьшее количество золотых контактов.

Ответ: машина работала в троичной системе счисления.