Журнал удивительных идей


Совместный проект учителей и учеников 192 школы










Не пропустите!

Очередной номер журнала Компьютерра (от 16 ноября) посвящен занимательной математике!

Хороша ли наша денежная система?

Мы настолько привыкли пользоваться десятичной системой счисления, что очень редко вспоминаем о существовании других способов обозначения чисел. Между тем, различных систем счисления известно немало, и до сих пор продолжают создаваться новые, причем некоторые из них весьма непривычны и принципиально отличаются от десятичной системы счисления. А ведь система счисления - всего лишь инструмент, и, поскольку инструментов несколько, следовало бы выбрать из них лучший и пользоваться именно им. Но для этого необходимо уметь сравнивать "качество" систем счисления. Разумеется, выбираемый способ записи зависит от того, какую именно задачу предстоит решать (и часто оказывается, что десятичная система счисления вовсе не самая лучшая). Впрочем, вполне возможно, что система счисления, удобная в одном отношении, будет крайне неудачна во всех остальных. Вопрос этот достаточно интересен, но его обсуждение мы отложим до другого раза и рассмотрим пока лишь системы счисления, построенные по принципу десятичной и отличающиеся лишь основаниями, и сравним их только с одной точки зрения, а именно с точки зрения их экономичности. Пусть дано, например, n карточек, на которых можно написать по одной цифре. Использование какой системы счисления позволит составить из них наибольшее количество последовательно идущих чисел?

Если мы пользуемся g-ичной системой счисления, то для каждого разряда необходимо g цифр (от 0 до g–1), а стало быть, в нашем распоряжении n/g разрядов (точнее, конечно, целая часть этого числа, но более точные рассуждения, становясь сложнее технически, не изменят результата, поэтому не будем занудствовать). Итак, у нас есть n/g разрядов, а потому общее количество чисел, которое можно записать, равно gn/g (в каждом разряде может стоять одна из g цифр). Чтобы выяснить, в каком случае получится больше всего чисел, найдем точку максимума функции y=uv,где u=x, v=n/x. Логарифмируя, а затем,
дифференцируя, получим:

lny=vlnu;
y-1y'=v'lnu+vu-1u';
y'=y(vu'u-1+v'lnu)=uv(vu'u-1+v'lnu);
y'=xn/x(1 – lnx)n/x2.

Производная обращается в 0 при 1=lnx, т.е. при х=е. Легко проверить, что х=е – точка максимума интересующей нас функции, но основание системы счисления – целое число, а ближайшее целое к е число равно 3. Таким образом, в понимаемом нами смысле, троичная система счисления оказывается самой экономичной! (см. также решение задачи про старинную ЭВМ c золотыми контактами в Приложении к этому номеру. Ред.)

Рассмотрим теперь, казалось бы, совсем другую задачу: определим набор гирь, содержащий наименьше их число, необходимый для взвешивания любого целого числа килограммов от 1 до N. Например, легко проверить, что имея гири в 1, 2, 3, 5, 10 и 20 килограммов можно взвесить любой груз, весящий целое число килограммов от 1 до 41. Нельзя ли, однако, обойтись меньшим числом гирь? Пусть 2n-1ЈN<2n. Если гири можно класть только на одну чашку весов, то, т.к. любое число можно записать в двоичной системе счисления, гирь весом 1, 2, 4, 8, 16... 2n-1 - всего n гирь - достаточно.

Действительно, запишем нужное нам число килограммов в двоичной системе счисления и выберем гири, соответствующие тем разрядам, где в записи интересующего нас числа стоят единицы. Меньшим числом гирь - и другой их комбинацией - обойтись уже не удастся, т.к. имея не более n гирь, можно составить лишь 2n - 1 различную комбинацию гирь (каждую гирю можно либо взять, либо нет и случай, если не взята ни одна гиря, не дает никакого веса). При этом хотя бы один вес будет получен не один раз, а значит, количество разных весов будет на самом деле меньше. Совершенно аналогично доказывается, что если гири можно класть на обе чашки весов, то гири минимального набора должны иметь веса 1, 3, 9, 27, 81... - в полном соответствии с полученным в предыдущем абзаце результатом. Система гирь, основанная на записи числа в троичной системе счисления, была осуществлена, по-видимому, только один раз. Закон России о мерах и весах 1797 г., принятый по инициативе Д.И.Менделеева и действовавший до 1842 г., устанавливал обязательный набор гирь в 1 и 2 пуда, 1, 3, 9, 27 фунтов и 1, 3, 9, 27, 81 золотник. В торговой практике эта система гирь была неудобна, да и не нужна, т.к. используемые гири достаточно дешевы. Но в лабораториях, где применялись точные и изготовленные из дорогих металлов гири, было существенно обходиться наименьшим количеством гирь. Впрочем, с появлением электронных весов задача свою актуальность потеряла.

Ну а при чем же здесь наша денежная система? Так ведь взвешивание весов на одной чашке и возможность набрать имеющимися купюрами и монетами требуемую сумму - это одна и та же задача. При этом требование минимальности становится существенным, т.к. печатание денег недешево. Впрочем, не менее важным становится и удобство использования. Вряд ли целесообразно усложнять расчеты, используя троичную систему, в которой почти на любую сдачу продавца покупателю придется также давать сдачу (гири ведь кладутся на обе чаши!). А двоичная система, по своей экономичности не сильно отличаясь от троичной, гораздо удобнее. В то же время хотелось бы согласования денежной системы с используемой десятичной системой, для чего удобно иметь кратные доли: 1/10 и 1/100. В результате получается, что вместе с 1000 рублей в обиходе должны находиться 500 рублей, 250 или 200 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 25 или 20 рублей. 10 рублей, 5 рублей, 2 или 3 рубля и 1 рубль. Аналогично получается и набор более мелких монет. Кстати, неудобство отсутствия в современной денежной системе банкнот между 100-рублевой и 500-рублевой и между 10-рублевой и 50-рублевой достаточно ощутимо каждому, часто совершающему покупки.

Jemand

М
а
т
е
м
а
т
и
к
а
Ф
и
з
и
к
а
Х
и
м
и
я
Б
и
о
л
о
г
и
я
И
н
ф
о
р
м
а
т
и
к
а